алгебра

Дата: 20.04.2022 16:45

Кількість переглядів: 61

Алгебра ГРУПА 31

Тема:  Розв?язування тригонометричних рівнянь.

Завдання

1. Розв’язування вправ

  а) рівняння які зводяться до алгебраїчних:

   3(1- sinx)=1+ cos2x

    3-3 sinx =1+1-2sin2x

   1-3 sinx   =-2sin2x

    2sin2x-3 sinx+1=0

б) Пониження степені в тригонометричних рівняннях:

sin10x+cos10x=2916cos42x 

1-cos2x25+1+cos2x25=2916cos42x

Позначимо  cos2x=t

(1-t)532+(1+t)532=2916t4

(1-t)5+(1+t)5=58t4                                                                                      Розкриваємо дужки використовуючи 5 рядок трикутника Паскаля.

1-5t+10t2-10t3+5t4-t5+1+5t+10t2+10t3+5t4+t5=58t4

2+20t2+10t4=58t4

48t4-20t2-2=0    Підстановка   t2=a≥0

24a2-10a-1=0              D= 100+96=196

a1=12        ;     a2=-112<0   

t2=12     ;     t=±22

cos2x=22cos2x=-22     ;    2x=±π4+2πn  2x=±3π4+2πk     ;    x=±π8+πn  x=±3π8+πk  ;  n,k∈Z

Використовуючи одиничне коло запишемо відповідь: x=π8+πm4,   m∈Z.

в) Рівняння, які зводяться до алгебраїчних за допомогою заміни

t=sinx+cosx.  Розв?яжемо рівняння:

2sinx+cosx+sin2x+1=0           Нехай  t=sinx+cosx  піднесемо до квадрату,    тоді

sin2x+cos2x+2 sinxcosx=t2  ;   1+<