Інформатика

Дата: 19.06.2020 08:10

Кількість переглядів: 391

Тема: «Основні поняття систем числення»

Тема: «Позиційні  та непозиційні системи числення»

Зробити конспект

Найпростішим способом запису натурального числа є зображення його за допомогою відповідної кількості паличок або рисочок. Таким способом можна користуватися для невеликих чисел.

Розрізняють такі типи систем числення:

— непозиційні

— позиційні;

— змішані.

Непозиційній системи числення

Непозиційна система числення – система числення, в якій значення кожної цифри в довільному місці послідовності цифр, яка означає запис числа, не змінюється.

У непозиційній системі кожен знак у запису незалежно від місця означає одне й те саме число. Добре відомим прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій роль цифр відіграють букви алфавіту: І – один, V – п'ять, Х – десять, С – сто, L – п'ятдесят, D – п'ятсот, М – тисяча. Наприклад, 324 = СССХХІV. У непозиційній системі числення незручно й складно виконувати арифметичні операції.

Недоліками непозиційних систем числення є:

— громіздкість зображення чисел;

— труднощі у виконанні операцій.

Позиційній системи числення

Позиційна система числення – система числення, в якій значення кожної цифри залежить від місця в послідовності цифр у записі числа. Для позиційних систем числення характерні наочність зображення чисел і відносна простота виконання операцій.

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу b (b>1), яке називається основою системи числення.

Основа системи числення –  число, яке означає, у скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього.

Винахід позиційної системи числення, заснованої на помісному значенні цифр, приписують шумерам і вавилонян. Її було розвинуто індусами і вона отримала неоціненні наслідки для історії людської цивілізації.

Для запису чисел системи числення з основою до 36 включно у якості цифр використовуються арабські цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) а потім букви латинського алфавіту (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). При цьому, a = 10, b = 11 і т.д.

Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Араби взяли за основу число 10, тому що в якості обчислювального пристрою вони використовували 10 пальців рук. В десятковій системі для запису числа використовується десять цифр від 0 до 9 і основою є число 10. Число у цій системі числення можна представити у вигляді степенів десяти, наприклад:

237₁₀ = 2·10²+3·10¹ + 7·10⁰

130678₁₀ = 1*10⁵ + 3*10⁴ + 0*10³ + 6*10² + 7*10¹ + 8*10⁰

Тут 10 є основою системи числення, а показник ступеня – це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зліва на право, починаючи з нуля). Арифметичні операції у цій системі виконують за правилами, запропонованими ще в середньовіччі. Наприклад, додаючи два багатозначних числа, застосовуємо правило додавання стовпчиком. При цьому все зводиться до додавання однозначних чисел, для яких необхідним є знання таблиці додавання.

Позиційні  та непозиційні системи числення

Сиcтема числення - це спосіб лічби та запису результатів

Людина звикла до десяткової системи запису чисел (системи числен­ня). Ця система поступово удосконалювалася протягом тисячоліть, почи­наючи з давніх Вавилону та Індії. У Середньовіччі вона стала відома ара­бам і завдяки їм прийшла в Європу.

У десятковій системі є десять знаків — цифр, якими записують числа від 0 до 9. Великі числа записують тими самими знаками, але не одним, а двома й більше, тобто число записують як послідовність знаків. У цій послідовності знаки мають різні позиції і тому цифра праворуч позначає кількість одиниць, наступна — кількість десятків, і так далі. Отже, одна й та сама цифра залежно від позиції має «різну вагу». Наприклад, у записі 32 цифра 2 задає дві одиниці, а у записі 23 — два десятки. Тому цю систему запису чисел називають позиційною.

 Історія людства залишила у спадок не лише десяткову систему запису чисел. У деяких країнах люди й дотепер підраховують предмети дюжина­ми (12 предметів) та гросами (12 дюжин). Для запису чисел у такій системі потрібні 12 різних знаків. Деякі народи використовували 60 різних знаків, деякі — п 'ять.Усі вказані системи мають різні кількості знаків (10,12,60, 5), які нази­ваються основами.

Основою позиційної системи називають ту кількість одиниць молодшого розряду, що утворюють одну одиницю старшого розряду. Відповідно для запису числа в в системі числення з основою N потрібно N символів.

Окрім позиційних систем, відомі й непозиційні. Деяке уживання й до­тепер має римська система числення, що виникла в Давньому Римі. У цій системі запис наступного числа утворюється не новою цифрою, а додаванням цифри: І, II, III, тому її називають адитивною.

Представлення чисел

Правила утворення записів чисел цим не вичерпуються; вони набагато складніші, ніж у позиційних системах, і розглядати їх докладніше не буде­мо. Особливо незручно в римській системі виконувати арифметичні опе­рації, і недарма вона не стала «робочою» для людства.

 Повернемося до позиційної десяткової системи. Цифру праворуч у запису числа називають молодшою («її записано в молодшому розряді»), ліворуч — старшою. Розряд одиниць називають нульовим, розряд де­сятків — першим, сотень —другим тощо. За такої нумерації вага розряду  відповідає степеню числа 10: одиниця-—це 10°, десяток — це 10 1, сот­ня — це 102 тощо.

 Отже, розташування цифри в тому чи іншому розряді є прямою вка­зівкою, на який степінь числа 10 треба помножити цифру. Звідси чис­ло можна записати як суму добутків цифр числа на відповідні степені десятки. Наприклад,

5834 = 5*103 +8*102 +3*101 +4*100.

Якщо запис числа мас дробову частину, то додаються цифри, ділені на число 10 у відповідному степені, наприклад,

0,23 = 2*(1/101) * 3(1/102)

Розглянемо яку-небудь позиційну систему числення з основою, відмінною від 10, наприклад, 7.

Аналогічно до десяткової, ця система повинна мати такі власти­вості:

 •       для запису чисел є сім цифр— 0,1,2,3,4,5,6;

•       значення цифри залежить від її розташування (позиції) в записі;

•       вага кожного розряду числа є відповідним степенем сімки.

Отже, перші числа записуються як 0,1,..., 6, а далі йдуть записи 10,11, ..., 16,20,21,..., 66, 100,.... Сімкове 10 — це звичне десяткове 7 (але ж немає такого знака в сімковій системі!), сімкове 11 —це звичне 8,  20—це звичне десяткове 14, тобто двічі по 7, тощо.  А сімкові 100 та 200 це десяткові 49 та 98, тобто один раз і два рази по 7 в квадраті.

А тепер подамо сумами степенів сімки такі числа (про сімковий запис свідчить маленька цифра 7 біля числа)

                                                              3427=3*72+4*71+2*70

« повернутися