геометрія

Дата: 06.05.2023 20:05

Кількість переглядів: 184

Геометрія. Група 21

Вівторок, 9 трав. • 10:30–12:00

Інформація для приєднання до Google Meet

Посилання на відеодзвінок: https://meet.google.com/sdt-uomw-zkb

09.05.2023

ГЕОМЕТРІЯ (Урок №31-32)

ГРУПА 21

Тема: Прикладна математика

Завдання для дистанційного навчання

Ознайомитись з матеріалом нижче.

Прикладна математика — галузь математики, що розглядає застосування математичних знань в інших сферах діяльності. Прикладами такого застосування будуть: чисельні методи, математична фізика, математична хімія, лінійне програмування, оптимізація і дослідження операцій, моделювання суцільних середовищ (механіка суцільних середовищ), біоматематика і біоінформатика, теорія інформації, теорія ігор, теорія ймовірності і статистика, фінансова математика і теорія страхування, актуарна математика, криптографія, а також комбінаторика і деякою мірою кінцева геометрія, теорія графів в додатку до мережевому плануванню, і багато в чому те, що називається інформатикою. У питанні про те, що є прикладною математикою, не можна скласти чітку логічну класифікацію. Математичні методи звичайно застосовуються до специфічного класу прикладних завдань шляхом складання математичної моделі системи. У минулому практичні додатки мотивували розвиток математичних теорій, які потім стали предметом вивчення з чистої математики, де абстрактні поняття вивчаються заради себе. Таким чином, діяльність прикладної математики тісно пов'язана з дослідженнями чистої математики.

Повторити формули з підручника с. 254-258
Розглянути завдання:

Задача 1. Скільки квадратних метрів тканини потрібно взяти, щоб пошити спідницю типу «сонце» для дівчинки з обхватом талії 45 см? Бажана довжина спідниці — 30 см.

Для розв’язання цієї задачі потрібно знати, який крій має спідниця типу «сонце».

Розв’язання. Оскільки обхват талії (тобто довжина внутрішнього кола) дорівнює 45 см, то його діаметр АВ = 45:3,14 = 14,3 (см). Тоді діаметр зовнішнього кола СD = 30+30+14.3 = 74.3 (см).Якщо припустити, що це сторона квадрата, з якого потрібно виготовити відповідний крій, то його площа S = 0.6 м².

Відповідь.0.6 м².

Задача2. У швейному цеху є 38 м тканини. На пошиття-піжами треба 4 м тканини, а на халат –3 м. Скільки можна пошити піжам і халатів з наявної у цеху тканини?

З уроками географії так:

«Масштаб. Побудова плану шкільної території»;

Задача 3. Масштаб карти 1 : 25 000. Яка відстань на місцевості між об'єктами, якщо на карті вона становить 2 см?

з уроками природознавства: «Симетрія. Симетрія в природі»; з уроками фізики: «Швидкість. Одиниці вимірювання швидкості»; з уроками історії: «Подорож у минуле геометрії»,

«Сім чудес світу» тощо.

теми « Піраміда», пропонуючи учням історичні задачі, що виникли в різних частинах світу.

Задача 4. Піраміда Хеопса спочатку мала висоту 147м. і займала площу 34300м². Скільки тонн речовини потрібно було для облицювання споруди, якщо на 1м² використовували її 160кг.

Задача 5. Піраміда Хеопса мала висоту 147 м., сторона її квадратної основи – 230м. Внутрішні входи і приміщення займають 30% її об’єму. Визначити маса каменю, який пішов на її спорудження ( маса 1м³ каменю дорівнює 2.5тонн).

Задача 6. Форма для сирної паски (правильна 4-кутна зрізана піраміда) складається з 4 бічних дощечок, з’єднаних гачками, дна і дощечки, на яку ставлять гніт. Визначити висоту форми якщо площа бічних дощечок становить 1700см.², площа всіх дощечок – 2376см.², а висота бічної дощечки – 25см.

Використання прикладних задач під час вивчення понять довжини кола та площі круга.

Задача 1. Перед посівом соняшників у підприємців виникло питання щодо вибору найбільш врожайного сорту. Один з багатьох запропонованих сортів дає можливість виростити соняшники діаметром 30 см (у середньому), а другий — соняшники діаметром 20 см (у середньому). При цьому чисельність на 1 га рослин першого сорту вдвічі менша від чисельності на 1 га рослин другого сорту. Який сорт соняшнику вибрали підприємці? (Вважати, що густина наповнення і розмір насіння у соняшників однаковий).

Розв’язання. Нехай чисельність соняшників першого сорту дорівнює m штук на 1 га, тоді чисельність соняшників другого сорту дорівнює 2m штук на 1 га. Тоді площа, яку мають корзинки соняшників першого сорту, на 1 га дорівнює 706,5m см², а корзинки соняшників другого сорту — 628m см². Отже, підприємці вибрали перший сорт.

Відповідь. Перший сорт.

Задача 2. Щоб засіяти 1 м² землі, потрібно 20 г насіння газонної трави. Кілограм такого насіння коштує 150 грн. Скільки коштів знадобиться, щоб засіяти газонною травою круглу ділянку радіусом 20 м?

Відповідь. 3768 грн.

Задача 3. Під час змагання велосипедистам необхідно було проїхати 5 кругів по колу радіусом 54 м. Яку загальну відстань у ході змагання довелось проїхати кожному велосипедисту?

Відповідь. 1695,6 м.

Задача 4. У Каліфорнії росте гігантська секвоя «Генерал Шерман». Її висота дорівнює 83,8 м, а довжина кола стовбура біля основи становить 34,9 м. Вік дерева налічує 2500 років. Це дерево вважають найбільшим живим організмом на Землі. Чому дорівнює діаметр стовбура цієї секвої біля основи?

Відповідь. 11 м.

Задача 5. Радіус колеса одного автомобіля дорівнює 16 см, а радіус колеса другого автомобіля — 20 см. Під час руху колесо першого автомобіля обертається зі швидкістю 30 об/с, а колесо другого — 25 об/с. Який автомобіль першим подолає відстань у 100 км?

Розв’язання. Довжина кола колеса першого автомобіля дорівнює 100,48 см. Отже, за 1 с він долає відстань 100,48·30 = 3014,4 (см).

Довжина кола другого автомобіля дорівнює 125,6 см. Отже, за 1 с він долає відстань 125,6·25 = 3140 (см). Оскільки швидкість другого автомобіля більша за швидкість першого, то він першим подолає відстань 100 км.

Відповідь. Другий автомобіль.

Задача 6. Будівельникам для встановлення башти потрібно залити фундамент форми круга. Зовнішнє коло цього фундамента повинно дорівнювати 45 м, а внутрішнє — 30 м. Визначте площу земельної ділянки під фундаментом башти.

Відповідь. 3532,5 м².

Задача 7. Щоб залити один квадратний метр ковзанки потрібно 40 л води. Скільки води потрібно, щоб залити ковзанку круглої форми діаметром 35 м?

Відповідь. 12 250 л.

Багато задач на економiчну тематику можна розв'язати пiд час вивчення теми «Відсоткові розрахунки. Формули простих i складних відсотків» у 9 класi. Наприклад:

Задача 1 . Вiд продажу товару з 1386 гривень одержано 10% прибутку. Знайти собівартість товару.

Розв'язання.

Собiвартiсть товару приймаємо за 100%. Bapтicть товару 1386 гривень при продажi становить 100% +10%=110% собiвартостi. Тоді собiвapтicть дорівнює 1368110%•100%= 126О (грн.)

Вiдповiдь.1260 гривень.

Примітка. В процеси розв'язання варто розкрити учням зміст поняття «собiвартiсть» товару.

Задача 2. Антикварний магазин купив два предмети за 255 гривень,

потiм продав їx, отримавши 40% прибутку. Скiльки грошей отримав магазин пiсля продажу цих предметів i скільки коштує магазину кожен, предмет, якщо за перший предмет було отримано 25% прибутку, а за другий 50%?

Розв'язання.

Відсоток прибутку становить 40%. Отже, загальна сума виручки буде

I,4•225=315 (грн.)

Нехай перший предмет купили за х гривень, тодi другий за (225-х) гривень. Вiд продажу першого предмета одержали 1,25х грн., за другий предмет отримали 1,5(225 - х) грн..

Маємо рiвняння

1,25х+ 1,5( 225- х)=315.

Звідки одержимо х=90, 225-х=135.

Вiдповiдь. 315 грн., 90 грн., 135 грн.

Задача 3.Через iнфляцiю ціни виросли на З0%. На скільки відсотків треба знизити цiни, щоб повернутися до початкових ?

Розв'язання.

Нехай початкова цiна х гривень. Цiни виросли на ЗO%, тобто на 0,3х грн.

Нова ціна стала х+0,3х=1,3х(грн.).

Щоб повернутися до початкової цiни треба її знизити на 0,3х грн. Ще становитиме 0,3х1,3х •100%=23х(грн.).

Вiдповiдь. 23%

Задача 4.Банк нараховує 10% рiчних. Якщо вкласти 2000 гривень, скільки буде через 2 роки?

Розв'язання.

A_n=A_o(1+ P100 )ⁿ, де A_o=2000, n=2, p=10.

A₂=2000(1+ 10100 )²=2000•(1110 )²=2000•121100 =20•121=2420(грн.)

Відповідь. 2420 гривень.

Про широке застосування математики на практиці можна продемонструвати на прикладних задачах на застосування похiдної в 11 класi.

Для прикладу розв'яжемо задачу.

Визначити розміри циліндричної закритої банки, об’єм якої V см, щоб її повна поверхня була найменшою, тобто щоб витрати жесті на її виготовлення були найменшими.

Розв'язання.

Складемо математичну модель до задачі. Позначимо діаметр основи банки через х , а висоту через h. Тоді повну поверхню банки виражаємо формулою

S = 2•14 пх²+пхh.

Iз формули об’єму банки виражаємо h через х: V=14 пx²h

Функцію S подаємо через одну змiнну х:

S=212 пх²+пх•=пх³+8v2x , де х≥0.

Дослідимо цю функцію, на екстремyми

Sʹ=12 •пх3+8v1x-x¹(пх3+8v)x² =12 •=пх³-4vx² .

Sʹ=0; пх³-4vx² =0;

пх³-4v=0;

х=34vп ;

При х<34vп , Sʹ<0, при х>34vп , Sʹ>0.

В точці х=34vп функція S набуває мінімуму.

Отже, коли х=, то повна поверхня банки буде найменшою, при цьому

h=4v^3( 4vп )² =34vп ,

тобто висота банки дорівнює дiаметру основи. Ще означаэ, що коли

осьовий переріз банки квадрат, то при заданому об’ємі витрата жесті на виготовлення банки буде найменшою.

Вiдповiдь. 34vп ― діаметр основи i висота банки.

Знання з математики, яких ви набули вже у початковій школі i в 5 класі, дозволять вам розв'язати, на мій погляд, кілька цікавих i корисних задач про природу.

Наприклад при розв'язуванні задач екологічного змiстy.

Задачі, які ми маємо сьогодні розв'язати відображають деякі екологічні проблеми людства.

Порушуючи своєю діяльністю взаємозв’язки у природі, змінюючи їx, людина пристосовує природу для своїх потреб, часто не враховуючи шкідливих наслідків для самої себе.

Нині в багатьох районах Землі за рахунок викидів отруйних газів та шкідливих речовин змінився склад повітря, стали не придатними для життя води річок, морів, зникли величезні площі лiсiв, багато тварин, птахів та рослин. Все це створило проблеми, які людина має розв'язати поки ще не пізно.

Загибель середовища, в якому ми живемо, призведе до загибелі

самих нас.

III. Математичний диктант (див. Таблицю l з даними).

1 . Скільки поглине вуглекислого газу 1 га лісу за літо ( l00 днів)?

Скільки за літо виділиться кисню? Вiдповiдь запишіть у тоннах.

2. У 2000 році навколо нашого села внаслiдок пожеж загинуло

l000га лісу.

Скільки ці 1000га лісу, змогли б затримати за рік пилу? Скільки

виділити вологи? Скільки куб. м повітря очистити?

З. 1 га лісу видiляє стільки кисню, скільки його потрібно для

дихання 200 чоловік. Визначте, скільки чоловік забезпечать киснем

ліси нашої країни, площа яких 800 млн. га?

4. Запишіть цифрами числа, які є в тeкcтi задачі:

У Середземне море щорічно скидається З8000т свинцю, 800000т

нафти, 100т ртуті, 21200т цинку. Знайдіть суму всіх цих речовин.

5. Через різке погіршення екологічного стану у Чорному мopi за

останнє століття кiлькiсть дельфінів зменшилася з 1 млн. до 90 тисяч.

На скільки дельфінів стало менше у Чорному мopi?

Перевірку диктанту провести за записами на звороті дошки.

Зробіть самооцінку в балах.

Вiдповiдi до математичного диктанту:

1.28т; 22т.

2. вiд 30000 до 90000 т пилу;

2500000т вологи; 20млрд м³ повітря.

З. 1бO млрд чоловік.

4. 839300 т.

5. 910000 дельфінів.

IV. Розв’язування задач.

1. Щороку в атмосферу викидається 53 млн. т оксиду азоту, двоокису сірки на 7 млн. т менше, а оксиду вуглецю на 101 млн. т більше, ніж оксиду азоту i двоокису сірки разом. Скільки всіх речовин викидається в атмосферу за рік?

Вiдповiдь: 299 млн. т.

2. Миша-полiвка з'їає за добу 50 г зерна. Сова знищує за добу 8

мишей. Яку економію зерна дасть сова за своє життя, якщо сови в середньому живуть 200 років?

Вiдповiдь:29 т 2 ц.

3. Складіть вираз для розв'язання задачі:

Сова може знищити за добу m мишей, а лисиця в 3 рази більше.

Скільки мишей можуть знищити за добу сова i лисиця разом?

Обчисліть, якщо m=8.

Вiдповiдь: 4m; 32 мишi.

V. Самостiйна робота (див. таблицю 2)

VI. Пiдсумок уроку.

Діти, який висновок можна зробити після розв'язання цих задач, які ми розглянули сьогодні?

Як треба ставитись нам до природи, довкілля, корисних птахів i

тварин?

Під час постановки проблеми перед вивченням нової теми:

Тема уроку. Найбільший спільний дільник.

Перед вивченням нової теми пропоную учням розв'язати задачу.

Задача. У квітковий магазин завезли троянди трьох сортів: 192 білих, 3З6 червоних i 288 жовтих. Яку найбільшу кількість букетів можна зробити з цих квітів, так щоб кожний букет мав однакову кількість троянд кожного кольору?

Розв'язання.

Треба знайти найбільше число, на яке діляться числа 192, 336 i

288, тобто найбільший спільний дільник цих чисел.

Як це зробити ? (проблема )

Про це ми дізнаємося зараз на цьому уроці i після цього закінчимо розв'язання цієї задачі .

Після цього вивчаємо новий матеріал теми.

Інший виховний аспект даного питання – економічний. Як заощадити кошти сімейного бюджету, що для цього потрібно робити,- учні показали при складанні задач. Наприклад,

Задача 1

Цівка води товщиною в сірник за тиждень може призвести до втрат 480 л води. Скільки літрів води буде втрачено, якщо 1000 чоловік залишать не до кінця закритими крани? Скільком мешканцям вистачило б цієї води, якщо мінімальна її потреба для однієї людини на добу становить 30 л?

Ця задача змушує учнів замислитись, як іноді людська недбалість приводить до значних втрат такого дорогоцінного ресурсу як вода.

Задача 2

Якщо приймати душ 3 рази на тиждень, то витрата води така сама, як прийняти ванну 1 раз на тиждень. На скільки відсотків витрачається менше води за один прийом душу, ніж ванни?

Задача 3

При чищенні зубів мама економно витрачає воду (прикриває кран, поки чистить зуби), а тато забуває це робити. Діти зробили виміри витрати води за показаннями лічильника і обчислили, що мама витрачає 1,5 літри кожного ранку, а тато у 2 рази більше. У скільки разів більше витратить води за місяць тато, ніж мама?

Виховне навантаження задач – розвиток економічних навичок, зв'язок з життям, необхідність задуматись над заощадженням води як для збереження ресурсу так і для економії сімейного бюджету.

Інша тема, яка актуальна на сьогоднішньому етапі – збереження електроенергії.

При складанні задач на цю тему учні опиралися на свій власний досвід і досвід своїх батьків.

Задача 4

Кімната обладнана приладами освітлення, які споживають 300 ват . Якщо замінити їх на енергозберігаючі прилади ,то витрати скоротяться на 30%. Скільки ват протягом доби можна заощадити, використовуючи енергозберігаючі прилади?

Задача 5

Одна кіловат-година електроенергії коштує 0,36 грн. Якщо кожен із 4 членів сім’ї збереже 10% електроенергії при умові, що за місяць сім’я споживає 150 квт, то скільки гривень буде заощаджено за місяць?

Задача 6

Сім’я з трьох чоловік у жовтні витратила 150 квт електроенергії, а в листопаді на 20% більше. Якщо 1 квт коштує 0,36 грн., то на скільки відсотків більше заплатили у листопаді, ніж у жовтні?

Задача 7

За місяць сім’я витрачає на електроенергію 54 грн. Один кВт коштує 0,36 грн. Скільки кіловат енергії витрачає сім’я за місяць? А якщо економно використовувати світло (вимикати лампочки, які горять без потреби), то можна заощадити 10% енергії. Скільки гривень втрачається марно за місяць?

Ще однією з важливих проблем сьогодення є збереження теплоносіїв, плата за які невпинно зростає і б’є по гаманцям споживачів. Тому учні склали декілька задач для вирішення проблеми заощадження сімейного бюджету .

Задача 8

Сім’я, яка проживає у будинку без лічильника на тепло, щомісячно платить за опалення 350 грн. А сім’я, яка проживає у будинку з тепловим лічильником, платить 250 грн. На скільки відсотків менше платить сім’я з другого будинку?

Задача 9

У квартирі, де за батареями опалення на стіні наклеєний теплоізоляційний матеріал, зберігається тепла на 5% більше. На 1 кв. м кімнати припадає 1,32 ккал тепла. Скільки тепла припадає на всю квартиру площею 17 кв.м, якщо в ній батареї не ізольовані від стіни?

Учні знайшли один із видів заощадження тепла у квартирах, школі, на власному досвіді переконавшись у цьому:

Задача 10

У будинку 10 дерев’яних вікон. Заміна 1 вікна збереже 2% тепла. За місяць родина платить 300 гривень за теплопостачання . На скільки скоротиться плата родини в разі заміни всіх вікон?

Економне використання газу у побуті теж необхідне для збереження цього цінного природного багатства. Деякі учні зацікавились, яким чином можна економно використовувати газ у повсякденному житті. І ось така задача була складена учнем 6 класу:

Задача. При приготуванні їжі на одній конфорці за 1 день витрачається 0,012м³ газу при інтенсивному вогні. Якщо тиск газу зробити помірним, то економія буде 30% . Один м³ газу коштує 0,73 грн. Якою буде економія сімейного бюджету через місяць?

Серед прикладних задач слід виділити задачі без числових даних або задачі-запитання. У таких задачах чітко сформульовано запитання, але умова їх не повна, даних часто не вистачає або і зовсім немає

«Як знайти діаметр дерева?»,
«Як виміряти кут нахилу даху?»,
«Знайти товщину аркуша паперу вашого підручника з математики?»,
«Як знайти об'єм сірника?»,
«Як виміряти глибину ставка?»,
«Як визначають відстань до недоступного пункту?»,
«Як знайти висоту будівлі?» тощо. Такі питання часто виникають у практичній діяльності людей і корисно знати, які дані потрібні для їх розв'язування, як їх визначити. До задач без числових даних можна віднести і задачі на побудову, і геометричні задачі на екстремуми
«Як з металевої пластинки, що має форму трикутника, вирізати квадрат найбільшої площі?»,
«Як за допомогою лінійки побудувати кут 60°?».